Poissonovo rozdelenie Po ( λ ) vzniká ako limitný prípad
binomického rozdelenia Bi ( p,n ) ak n → ∞ a
p → 0, pričom E ( np ) = λ (λ
= konštanta). Tento fakt zapisujeme X ~ Po ( λ ).
Poissonovo rozdelenie je diskrétne rozdelenie pravdepodobnosti. Vyjadruje
pravdepodobnosť toho, že sa zrealizuje práve daný (celočíselný) počet
"udalostí" v pevnom časovom intervale, keď poznáme strednú hodnotu výskytu
týchto udalostí za uvedený časový interval (aj keď tieto udalosti nie sú
vzájomne jedna od druhej závislé). Toto rozdelenie bolo objavené
Siméonom-Denisom Poissonom (1781 - 1840) a publikované v r. 1838.
Majme diskrétny náhodný proces, napr. počítajme, koľko elektrónov dopadne na
danú plochu za vopred zvolený, pevný časový interval. Potom
pravdepodobnosť p ( n, λ ) toho, že sa v tomto intervale objaví práve
presne n javov (n je celé nezáporné číslo, n = 0, 1, 2, ...) sa rovná
kde λ je kladné reálne číslo, ktoré udáva stredný počet udalostí,
ktoré pripadajú na zvolený časový interval. V pripade, že pozname početnosť
μ realizacii pozorovaneho javu (t.j. priemerny počet udalostí
objavujucich sa za jednotku času), potom vzťah pre pravdepodobnosť bude mať tvar:
Príklad 1
V banke vybavia priemerne 72 zákazníkov za 1 hod. Aká je pravdepodobnosť
p, že vybavia 4 zákazníkov za 3 minúty?
Riešenie:
Najprv si vypočítame na hárku EXCELU koľko zákazníkov vybavia za
1 minutu a potom priemer za 3 minuty a zadáme štatistickú funkciu
=POISSON(4;3,6;FALSE):
dostávame výsledok: pravdepodobnosť že vybavia 4 zákazníkov za 3 minúty je
0,1912.
Ten istý výsledok dostávame, ak dosadíme údaje do
vzorca (1).
Na obrázku v prvom riadku sú naznačené vzorce pre výpočty v druhom riadku.
Príklad 2
Zistite pravdepodobnosť kazov v konfekčnom oblečení. V 1000 m látky sa
nachádza 50 kazov. Na jeden oblek je potrebné v priemere 2,8 m látky.
V priemere pripadne na 1 m látky 0,05 kazu (=50/1000). Priemer kazov
pripadajúcich na 1 oblek = 0,14 (2,8*0,05).
Riešenie:
Ak chceme vedieť, aká je pravdepodobnosť napr. 0 kazov (1 kaz, 2 kazy ..)
v obleku, mohli by sme do vzorca (1) dosadiť za n číslo 0,
za λ dosadíme hodnotu 0,14. Ale EXCEL nám to uľachčí
a urýchlí - zadáme štatistickú funkciu - ako je to zobrazené na výstrižku
z hárku Excelu:
Konštatujeme, že pravdepodobnosť 0 kazov v obleku je vysoká, približne
0,9 a pravdepodobnosť 2 alebo viac kazov v obleku je
mizivá.
Príklad 3
V knihe, ktorá má 250 strán je 50 chýb. Zistite pravdepodobnosť, že
na stránke napr. 100 nie je žiadna chyba. Priemerný počet chýb na 1 strane
je 50/250 = 0,2; Označme náhodnú premennú X počet chýb na strane.
X bude mať Poissonove rozdelenie, s parametrom 0,2.
Teda λ=0,2.
Výsledok zistíme buď dosadením do vzorca :
(0! nula faktoriál rovná sa 1)
alebo
zas štatistickou funkciou v Exceli:
