Hypergeometrické rozdelenie
Predpokladajme, že v súbore N prvkov ich m má určitú vlastnosť
A. Zo súboru náhodne vyberieme n prvkov, bez toho aby sme ich vracali
späť do pôvodného súboru ( tzv. výber bez opakovania ). Počet prvkov
s vlastnosťou A , ktoré boli vybrané do výberu prvkov je náhodná premenná
X, ktorá môže nadobúdať hodnoty [0;n] a tvorí hypergeometrické
rozdelenie. Teda ak náhodná premenná X má hypergeometrické rozdelenie
s parametrami N, m a n, potom pravdepodobnosť
dosiahnutia k zdarov, je
daná:
- n ... počet náhodne vybraných prvkov
- N ... veľkosť populácie
- m ... počet s určitou vlastnosťou (napr. vadné)
- k ... počet prvkov s vlastnosťou A , vybraných do výberu prvkov
Hypergeometrické rozdelenie sa líši od binomického v tom, že populácia
je konečná a výber z populácie je bez opakovania. Pokusy nie sú nezávislé.
U binomického rozdelenia pravdepodobnosť úspechu je konštantná, kým
u hypergeometrického rozdelenia sa pravdepodobnosť zdaru mení po každom pokuse.
Príklad 1
Kartón obsahuje 24 žiaroviek. 3 sú vadné.
Aká je pravdepodobnosť, že ak vyberieme náhodne 6 žiaroviek, X
bude vadných. Najprv dosadíme do vzorca (1) - dostávame vzorec (2).
Potom ak chceme zistiť, napr. aká bude pravdepodobnosť že žiadna žiarovka
(0) nebude vadná, zapíšeme vzorec (3).
Po výpočte dostávame
P(X=0)= 0,40316.
V Exceli zadáme do niektorej bunky funkciu:
=HYPERGEOMDIST(0;6;3;24) a dostávame výsledok:
0,40316.
Príklad 2
Dodávka tovaru obsahuje 15 výrobkov, z toho 5 vadných. Ak náhodne
vyberieme 7 výrobkov, aká je pravdepodobnosť, že výber bude obsahovať
najmenej 3 vadné výrobky?
Riešenie
Vypočítame
P(0),
P(1) a
P(2):
a potom dosadíme do vzorca:
P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 1 - ( P(0)+ P(1) + P(2))
=1 - 0,573427 = 0,426573.
Príklad 3
Predpokladajme, že náhodne vyberieme
5 hracích kariet bez vrátenia späť
z počtu hracíh kariet
52. Aká je pravdepodobnosť, že medzi vybranými kartami
budú dve červené (srdcia alebo káro)?
- N = 52; počet kariet v balíku
- k = 26; lebo je 26 červených kariet v balíku
- n = 5; náhodne vyberieme 5 kariet z balíku
- x = 2; 2 červené z vybratých
Pravdepodobnosť, že medzi 5-timi vybranými hracími kartami budú 2 červené je
0,32513.. Pozrime sa na to v
EXCELI, najprv pomocou kombinácií:
a potom pomocou štatistickej funkcie
HYPGEOMDIST:
