Piere de Fermat (1601 - 1665)

Francúzsky právnik, ktorý sa vo svojom volnom čase venoval matematike. Aj keď sa venoval matematike ako amatér, jeho práca v oblasti teórii čísel bola tak výnimočná, že je väčšinou zaraďovaný medzi najväčších matematikov všetkých čias. Často svoje poznámky skôr čarbal na okraj kníh alebo listov priateľom než by ich bol publikoval. Nezávisle na Descartesovi položil základy analytickej geometrie, ale svoju prácu nebublikoval. Spolu s Pascalom bol zakladateľom teórie pravdepodobnosti a sformuloval princíp minimálneho času (Fermatov princíp). Podľa Fermatovho princípu sa svetlo šíri pozdĺž takého lúča, ktorého optická dráha je minimálna, teda doba, za ktorú svetlo prejde z bodu A do bodu B je najmenšia.

Alternatívne odvodenie zákonov geometrickej optiky môžeme vykonať pomocou Fermatovho princípu: lúč svetla pri prechode z jedného bodu do druhého sa pohybuje po takej dráhe aby minimalizoval čas nutný na prechod. Fermatov princíp sa nazýva aj princíp najmenšieho času. Najočividnejším príkladom je šírenie sa svetla homogenným prostredím, v ktorom sa rýchlosť svetla nemení.

Fermatov princíp pre odraz

Najprv si ukážeme platnosť princípu pre zrkadlo. Je tu využitý nielen zákon priamočiareho šírenia sa svetla v homogénnom prostredí ale i zákon pre zrkadlo. V tomto prípade najkratší čas je ekvivalentný najkratšej vzdialenosti medzi bodmi A a B. Stanovíme však podmienku, že lúč má dopadnúť na zrkadlo: Obrázok 1 ukazuje lúč dopadajúci na zrkadlo a ako vidíme, uhol dopadu Θ₁ na obrázku sa nerovná uhlu odrazu Θ_R. Podľa Fermatovho princípu však platí, že čas za ktorý svetlo sa šíri z bodu A do bodu B musí byť minimálny:

c je rýchlosť svetla v danom prostredí. Minimálny čas nájdeme ak derivujeme t podľa y a výsledok položíme rovný nule:

Zo vzťahu (2) vplýva, že prvý člen

je vlastne sin(Θ₁)   a druhý člen

rovná sa sin(Θ_R).   Požiadavka šírenia sa svetla za minimálny čas sa redukuje na zákon odrazu. Teda uhol odrazu sa rovná uhlu dopadu:    sin(Θ₁)=sin(Θ_R).   Podobnú analýzu môžeme vykonať pre odvodenie Snelliovho zákona lomu:

Rýchlosť svetla v prostredí s indexom lomu n je c/n, kde c je rýchlosť svetla vo vákuu. Teda čas, za ktorý prejde svetlo v prostredí s indexom lomu n určitú vzdialenosť, je n násobok času ktorý svetlo potrebuje na prejdenie tej istej vzdialenosti vo vákuu. Ak zderivujeme čas t v rovnici (2) podľa y, a zadáme že dt/dy musí byť rovný 0, dostávame:

sin(Θ₁)=n  sin(Θ_R), kde Θ_R je uhol lomu.

Svetlo sa však nemusí vždy šíriť po dráhach, ktoré svetlo prekoná za minimálny čas. Môžu to byť aj dráhy ktoré svetlo prekoná za maximálny, minimálny alebo stacionárny čas. Na obrázku 3 je dutý elipsoid so zrkadlovým povrchom na vnútornej ploche. Ak si dáme podmienku, aby sa svetlo odrážalo od zrkadlovej plochy, svetlo emittované z bodu F1 (ohnisko) sa odráža späť od vnútornej zrkadlovej plochy elipsoidu. Dráhy F1AF2, F1BF2, F1CF2, F1DF2, F1EF2 sú rovnaké, teda aj čas za ktorý sa svetlo dostane z ohniska F1 do ohniska F2 je rovnaký, stacionárny, nemenný. Príkladom maximálnej dráhy je ohyb svetelných lúčov v gravitačnom poli Slnka (všeobecná teória relativity).

Kontakty

Stránka je v súlade s aktuálnymi normami.



Domov

©  Klára Mrázová