Fermat

Pytagorovu vetu môžeme zapísať v tvare: X²+Y²=Z²
Táto rovnica má mnoho celočíselných riešení, napr.: 3²+4²=5².
V 17. storočí francúzsky matematik Pierre de Fermat zadal výzvu budúcim generáciam matematikov - dokázať, že neexistuje žiadne celočíselné riešenie pre nasledujúcu skupinu rovníc:

x³ + y³ = z³
x⁴ + y⁴ = z⁴
x⁵ + y⁵ = z⁵
x⁶ + y⁶ = z⁶
atď.

Veľká Fermatová veta tvrdí, že tieto rovnice nemajú riešenie. Vetu si roku 1637 zapísal francúzsky matematik Pierre de Fermat na okraji knihy Arithmetica pri Pytagorovej vete od Diofanta. Napísal, že našiel dôkaz, ale na okraji knihy nie je dosť miesta pre zápis dôkazu.

Možno sa však mýlil, pretože všetky pokusy o jednoduchý dôkaz (zatiaľ) stroskotali. Ťažkosti, dokázať toto tvrdenie spočívajú v tom, že jestvuje nekonečný počet takýchto rovníc a nekonečný počet možných hodnôt X, Y a Z. Musí sa teda dokázať, že neexistuje riešenie pre tento nekonečný počet rovníc s nekonečným počtom možných hodnôt X, Y a Z. Presnejšia formulácia:
Ak X, Y a Z sú celé kladné čísla väčšie ako 0 a n je celé číslo väčšie ako 2, potom rovnosť Xⁿ + Yⁿ = Zⁿ neplatí. Fermatova veta bola donedávna (1995) asi najslávnejším nevyriešeným matematickým problémom novoveku.

Pokusy o riešenie veľkej Fermatovej vety

Keďže sa nenašiel dôkaz ani vo Fermatovej pozostalosti nevieme aký mohol byť Fermatov postup. Ale máme niekoľko provokujúcich kľúčov nachádzajúcich sa v poznámkach na okraji knižky:

Čítal Diofantovu Aritmetiku
Predpokladal možnosť, že súčet objemov dvoch kociek môže sa rovnať objemu tretej kocky (celé čísla)
Veľmi rýchlo usúdil, že to je nemožné
Tvrdil, že našiel dôkaz, ktorý "je príliš dlhý, aby sa zmestil na okraj knihy

Z tohto môžeme usudzovať, že jeho dôkaz mal nasledovné charakteristiky:

Mal by byť krátky, možno niekoľko stánok
Bol inšpirovaný Diofantovou knihou, ktorú študoval
Vyžadoval poznanie všeobecného vo všetkých rovniciach typu Xⁿ + Yⁿ = Zⁿ

Okrem niekoľkých samostatných článkov Fermat počas života nikdy nesprístupnil svoje výsledky verejnosti. Písal však listy matematikom, v ktorých formuloval svoje výsledky bez dôkazov a adresátov vyzval, aby si dôkaz našli sami. Po Fermatovej smrti zverejnil jeho výsledky jeho syn. Je pravdepodobné, že Fermat dokázal pravdivosť rovnice pre n=3 a potom pre n=4. Dôkaz pre n=3 sa nenašiel, ale pre n=4 áno. Pre n=3 podal dôkaz Euler. V r. 1823 Legendre podal dôkaz pre n=5, v r. 1832 Dirichlet pre n=14 a r. 1839 Lamé pre n=7. V r. 1849 Kummer podal dôkaz pre významnú triedu exponentov, tvorených primárnymi číslami.